從一則案例談機率 @ novus log

莎莉‧克拉克(Sally Clark)是英國的事務律師(solicitor)，出生於一個普通的英國家庭，父親是資深警官，母親是理髮師。她在1990年嫁給了同樣是法律背景的丈夫Steve Clark，事業和家庭看起來一切都很美好，但不幸的事在不久之後降臨了。

1996年他們的長子誕生，健健康康的男嬰忽然在11個星期大的時候猝死，原本產後憂鬱的莎莉花了很長的時間才從崩潰當中復原。不知是否造化弄人，兩年後莎莉的第二胎在8星期大的時候也忽然猝死。這個時候莎莉不只要面對喪子之痛，緊接著而來的是殺嬰控訴，畢竟兩個小男嬰接連死亡有點離奇。

不過檢察官並沒有具體證據能證明莎莉行兇，而且嬰兒猝死症(SIDS)也可能是此事件的自然因素。為了能夠說服陪審團這不是自然的SIDS，所以他們找來了兒童病理專家羅伊‧梅德爵士(Sir Roy Meadow)，向陪審團說明兩個嬰兒接連猝死是多麼不尋常的事情。

梅德爵士的論點是這樣子的，克拉克太太兩位嬰兒都死於SIDS的機率是7千3百萬分之1，因為根據他的研究，英國嬰兒猝死現象發生的比例是8543分之1，所以兩件一起發生的話機率應該只有
1/(8543 × 8543) = 1/73,000,000
全英國每年有700,000新生兒，所以克拉克家兩位嬰兒都猝死應該是百年難得一見。

看起來陪審團的數學程度可能不太好，儘管缺乏其他具體證據，他們還是接受了梅德的機率算法，認為這種事情自然發生的可能性甚低。於是莎莉‧克拉克最後在1999年被判有罪，處無期徒刑。她在2000年入獄，由於出身警察家庭再加上殺嬰，使她在監獄裡成為大家「特別關注」的對象，更糟的是她的無期徒刑幾乎不可能假釋。

等等，真的應該如此嗎？此案在英國也算是鬧得有點大，不少數學家和統計學家得知判決結果後不禁跳腳。

為什麼呢？因為羅伊‧梅德爵士雖然在兒童病理學方面有兩把刷子，可是他在機率上犯了基本而且嚴重的錯誤。2001年英國皇家統計學會發表聲明說此案是「對於統計的誤用」，1/73,000,000這個數字完全沒道理。

第一個錯誤是很顯而易見的，那就是只有獨立事件的機率才能直接相乘。嬰兒猝死很明顯不是獨立事件，比方說，兩個嬰兒有可能具有共同基因缺陷、暴露在相同環境汙染等等，機率的乘法原理在這裡完全不管用。關於這點，Salford University的數學教授 Ray Hill 在2004年發文指出，以英國的統計資料來看，第一胎猝死將會大幅增加第二胎猝死的可能性，兩者之間有著5~10之間的dependency factor。

第二個錯誤則不那麼明顯，不過卻是常常在法庭辯論上出現，所有甚至有檢察官謬誤(Prosecutor's fallacy)這個名稱。簡單的說，在這個案件裡要討論的機率不應該是「每一個嬰兒死於SIDS的可能性」有多小，而是「如果有位嬰兒死去，他的死因是SIDS的可能性」有多小。兩者描述的事情並不相同，用下面這個例子說明比較容易明白。

假如我在夜裡聽到狗吠，想知道狗是不是因陌生人來訪才吠叫，而非迷途的蝙蝠、愛挑釁的野貓或亂飛的昆蟲所引起，那麼下列哪一個統計資料最有用呢？
    a. 過去一百個夜晚，多少夜有陌生人到訪
    b. 過去一百次陌生人到訪當中，多少次狗吠叫
    c. 過去一百次狗吠叫當中，有幾次是陌生人到訪

答案很明顯是c。其中a只能告訴我們陌生人夜裡到訪的可能性，但對於我們感興趣的「狗是不是因陌生人吠叫」，a卻沒辦法透露更多資訊。關於b，假如你養了一隻很神經質的狗，那麼過去一百次陌生人靠近牠的吠叫率可能是100%，但是這也表示狗很容易對任何風吹草動狂吠不已，於是聽到狗叫聲代表陌生人的機率恐怕低很多。

回到克拉克太太的案子上，如果經過仔細對比，我們會發現梅德爵士提供的資訊屬於上述的a，而不是法庭所應該感興趣的c。如果要求取「如果有位嬰兒死了，他的死因是SIDS的可能性」，還得經過一些換算，我們可以這樣表示機率
    S = 一個嬰兒猝死症的事件
    D = 一個嬰兒死亡的事件
    P(S) = 一個嬰兒死於猝死症的機率
    P(D) = 一個嬰兒的死亡率
    P(S|D) = 給定一個死嬰事件，死因是嬰兒猝死症的可能性

更進一步來說，法庭上真正要衡量的是，兩個死去的嬰兒死於自然原因的機率是否遠遠小於謀殺，如果梅德的數據能夠說明這點就成功了，當然他辦不到。根據數學家Hill教授的計算，兩嬰都死於嬰兒猝死症的機率，比起兩嬰都被謀殺的機率還要大上4.5~9倍之多。

還有第三個對案件判決影響比較小、但數學上一樣嚴重的錯誤。事實上男嬰猝死症的可能性比女嬰還要高出一截，由於克拉克家兩個嬰兒都「已知」是男孩，所以猝死發生率不應該套用不考慮性別的1/8543。

雖然以上都沒辦法證明莎莉‧克拉克肯定無罪，但是至少也說明了她離罪證確鑿還很遠，在現代法律無罪推論原則下根本不應該讓她入獄。很無奈的是莎莉最後入獄了，數學家和統計學家的說法並沒辦法救她，直到後來新的病理學報告出爐才讓她獲得平反，這已經是她入獄三年後了。很遺憾的是克拉克太太出獄之後精神狀態一直沒有恢復，人生的最後階段都在酗酒當中度過，在2007年被發現猝死在自家中，經過驗屍確定為酒精中毒，沒有自殺或他殺的跡象。

而機率概念不太好的小兒科權威也倒楣了，由於檢察總長下令重新調查類似案件，發現羅伊‧梅德在多起同類案件中擔任專家證人，並且讓多名婦女在沒有其他具體證據的情況下因為機率入罪。於是梅德因為「重大專業過失」被取消行醫資格。

1) 有關Sally Clark案的報導
http://en.wikipedia.org/wiki/Sally_Clark
http://www.telegraph.co.uk/news/obituaries/1545933/Sally-Clark.html
http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/england/essex/7082411.stm

2) Sudden infant death syndrome(SIDS)的介紹
http://en.wikipedia.org/wiki/Sudden_infant_death_syndrome

3) 數學.....
http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Prosecutor%27s_fallacy
http://www.cse.salford.ac.uk/profiles/profile.php?profile=R.Hill (最下方的cot death部分)