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在上一篇莎莉‧克拉克(Sally Clark)案，提到專家證人犯了三個機率與統計的錯誤。其中最關鍵的是檢察官謬誤(Prosecutor's fallacy)，這也是三個錯誤當中最能大幅扭轉「無罪機率」的一個。

檢察官謬誤其實並不是單一的謬誤形式，而是幾種因不了解條件機率而生的謬誤總稱，還有一種衍生型稱為辯護人謬誤(Defendant's fallacy)。不過只要能夠看穿背後的條件機率，這些謬誤形式都有共通點。這類的謬誤，簡單的說，就是控訴方拿另一個不太相關、或是有關連但未考慮條件機率的數值，硬指為被告「無辜的機率」很小。辯護人謬誤則是反過來用錯誤的機率來說己方「犯罪的機率」很小。

舉例來說(以下情節當然純屬虛構)

假如我上周跑去買大樂透，沒想到只買一張竟然中了頭獎。結果檢察官約談我，因為他們懷疑我收買台彩內部的員工。我有自信他們不會有任何證據，因為我甚麼也沒有做。嘿嘿，可是檢察官還有王牌，他們說大樂透中獎的機率只有
1 / C(49, 6) = 1 / 13,983,816
我沒收買台彩員工而中獎的機會只有約1千4百萬分之1，所以我只有1千4百萬分之1的機率是無辜的。

這是個很誇張的例子，我們都知道中獎的機率和無辜的機率是兩回事，但是有時候並沒有那麼容易被認出來，像前篇提到的莎莉‧克拉克案。一個現實中比較有可能發生的案例是這樣的：

假設在一個大城市裡發生兇殺案，但現場有用的證據不多，慶幸的是被害人掙扎時在指甲縫留下了些許疑似兇手的髮膚。很可惜證物DNA保存的狀態不是很好，化驗室沒辦法達到電視影集當中的水準，若是只比對保存狀況較佳的幾個基因特徵，那麼可以確定只有五萬分之一的人能夠與這些DNA片段完全吻合。假設有個A君竟然符合這個五萬中選一的機會，於是他就被起訴了。檢方當然會陳述所有對被告不利的證據，不過殺傷力最強的還是DNA證據。檢方如是說：
    「根據專家證人的意見，一個人的DNA要碰巧和證物完全符合只有五萬分之一的機率。若說被告A君真是無辜，除非他就是那五萬分之一的巧合。」
當然辯護律師也不是省油的燈：
    「別忘了本市有五十萬居民，全憑巧合滿足這五萬分之一機率的人數，搞不好都可以組一支棒球隊了。我的委託人只是這些人當中其中一位，有罪的機率了不起只有十分之一吧。」

所以誰比較有道理呢？其實雙方的邏輯都不對，五萬分之一既不是無辜的機率，也不能直接拿來推算有罪的機率。五萬分之一只是個先驗機率(prior probability)，來自於單純的統計和理論推算，機率成立的條件完全不受本案影響。一個新生兒或是作古百年的死人，他們的基因吻合現場樣本的機率也會是五萬分之一，但他們都不可能犯案；即使本案從來都沒發生，你問實驗室「一個人同時有A、B、C.....這些基因特徵的機率是多少？」，實驗室仍然會說「大約五萬分之一」。

如果A君是隨機抽樣得到的，那麼他有罪的機率可能會比較接近辯護律師所說的十分之一。反過來說，如果A君是檢警特別鎖定的嫌犯，因為他有前科、無不在場證明、身上有抓傷，那麼只要再加上DNA檢驗，他犯罪的機率將會大幅提高。在這個案件裡，如果沒有其他決定性的證據，光憑DNA吻合仍然很難決定A是否有罪。

另一個飽受爭議的例子是運動員的禁藥檢驗，事情往往關乎個人與團隊的名譽，並且對運動員短暫而寶貴的職業生涯有重大影響。禁藥檢驗通常是鎖定特定的人工荷爾蒙的濃度是否超過標準。假如有位運動員在檢驗時呈陽性，而檢驗單位又宣稱假陽性的機率只有2%，表示未服藥而被誤判為陽性的可能性只有 2% ，我們是否可以說這位運動員使用禁藥的可能性是98%呢？

答案是不行，我們還得看看其他條件。假如每10個使用禁藥的人當中，總會有2個人僥倖逃過這項檢驗，也就是假陰性為20%。那麼如果有1000名運動，其中有100人使用禁藥、900人無使用禁藥，檢驗會呈現下表的分布

我們發現合乎「驗出」這項條件的98人當中，其中 18 人是未用禁藥但是被誤判的。也就是說即使檢驗呈現陽性，一位運動員也有 18/98 = 18.4% 的機率沒有使用禁藥，比公平骰子擲出一點的機率略高。由於現實當中上述提到的機率多半非常難以精確獲得，所以各大體育組織仍然採行「驗出即禁賽」的規則，雖然算是人人平等，但是稱不上公正。

最後來看看另一種引用資料的誤導，在互搬數據的網路筆戰也很常見。1994年的辛普森殺妻案由於警方辦案瑕疵，最後變成了法庭混戰。檢方將前期的攻勢放在辛普森對妻子妮可的暴力傾向，並舉出歷來的傷害紀錄，指稱兇殺案其來有自。不過辛普森的辯護律師德蕭維茲(Alan Dershowitz)可是個能言善道的狠腳色，他引用美國的統計數據，顯示每年有將近四百萬婦女受到配偶或男友暴力對待，但根據聯邦調查局的刑案報告，總共只有1432名受家暴婦女最後遭到配偶或男友殺害，大約只有1/2500左右。也就是說只有非常少數暴力案件會以兇殺案收場。

看起來很有道理不是嗎？一點也不。根據1993年聯邦調查局的資料顯示，1993年來自家暴環境、死於殺害的婦女當中，有90%是死於長期施暴者之手。得仔細分清楚，「一個有家暴背景的男性最後殺害配偶機率」和「受家暴婦女遭殺害了，兇手是施暴者的機率」是兩回事，在這裏我們比較關心的是後者。

雖然大多數的人都不會上法庭參與辯論，不過我們仍然會每天從各種媒體收到許多機率和統計數字，並轉變為思考事物的依據。如何分辨這些推論有沒有道理，就必須靠自己小心思考了。

參考
http://dna-view.com/profile.htm
http://k-review.com.tw/2008/09/01/706/
http://en.wikipedia.org/wiki/Prosecutor%27s_fallacy
辛普森案的例子來自Leonard Mlodinow著作的《醉漢走路》一書，台灣由天下文化出版。