這是一個我從很久以前就有的想法,印象中最原始的想法大約始於國中期間,當時甚至都還沒在學校學到極限的觀念。一直到高中、大學之後我才漸漸對相關數學有足夠的理解,然而問題還是沒有解決。

記得當年和小豪討論過這個問題,不過忘掉最後是否得出有意義的答案。

雖然後來我看過這個問題比較簡單的變形,不過我還是以最初的想法來描述

假設有一個正方形邊長為1,那麼對角線如紅色所示,長度為根號2;圖中沿正方形兩邊的黑線長度為2。

將黑線改成階梯狀,長度依然是2。不難看出反覆分解下去,階梯會越來越小且階數越來越多,但總長度並不會因此改變。

有趣的地方來了,當分解數趨近無限的時候,最後黑線會無限趨近紅線,那時候黑線的長度應該是多少?

如果黑線等於紅線,那麼長度應該為根號2

但若是按照剛才前幾回合的例子來看,應該是不管再怎麼分割長度還是維持2不變。

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雖然看起來很為反直覺,其實有限操作和無限操作所得到的長度確實是不同的。

這個例子很清楚的示範,有限逼近的性質不見得會在無限逼近中保留,所以在探討問題時慎選欲逼近的性質很重要。

 

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2010/11/05 補充

這個問題還有其他變形,最常見的似乎是正三角形和本文示範的直角三角形,另外用半圓形也是一種做法

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  • timsheu
  • 我與朋友討論過後,
    認為黑線就是2的長度,

    因為極限並不是等於,
    可以說黑線的極限值趨近於根號二,
    但黑線的實際值並不等於根號二,

    如果趨近於無限之後,再將無限小的某一部分放大來看,
    黑線與紅線的關係依舊是根號二與二的關係。

    極限值與實際的值應該是不一樣的。
  • 小豪
  • 簡單解釋一下,

    在有限步之下所得到的黑線長度恆等於2,

    令第n步所得到的黑線是f_n,

    而無窮步之後f_n收斂到紅線,紅線的長度是根號2,

    雖然說當n很大時,f_n「似乎」變的跟紅線一樣,

    但在數學上f_n與紅線仍有著極大的差異(就是它們長度不同)


    數學上有限與無限有著極大的差異,且多半與生活經驗不符。不過這也是數學神奇和有趣的地方^^
  • Savourylie
  • 黑線是非解析曲線, 無論如何是不會收斂到紅線的(儘管看起來很像)。f_n 從頭到尾都是定值, 因此他的極限值也是 2, 而不是根號 2。
  • 這好像是我第一次看到有人用是否可解析來解釋這個問題

    不過,這個問題也可以用可解析的線來包絡對角線,例如半圓形

    novus 於 2010/11/05 02:05 回覆

  • kaworuweb
  • 我認為這沒有矛盾.

    不管是有限操作, 還是無限次操作, 黑線的長度都是2.

    例如你看切到第 n 步(任一步) 裡的每一個小三角上, 黑線長跟紅線長的比值都是固定根號2.
    此比值跟 n 無關,取 n 無限大時也成立.

    當然你可以從其他操作定義中得到同樣的結論. 我認為這在數學上是well-denfined的, 沒甚麼矛盾存在.
    會覺得是悖論, 只是因為跟"直覺"相矛盾而已:
    長度 '2' 的線要塞到長度為 '根號2' 的線裡面...

    不過這類'矛盾'在數學中已經見怪不怪了吧.
    像碎形, 無限集合(Hilbert's旅館悖論)等....