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元旦看到一個有趣的物理問題，現在才有空寫一些想法。有一位細心的網友(大概也沒人沒他跨年吧)發現教科書上寫道：「角位移不能視為向量」，於是感到很好奇。不過更讓他好奇的是，角速度竟然可以視為向量，而角速度僅僅是角位移除以時間單位而已。

因為有些網友可能不清楚角位移、角速度這些名詞，或者是曾經學會但是現在忘了，所以這裡複習一下。

角位移(angular displacement)其實很容易理解，它是用來描述轉動程度的量，通常用弧度、角度、圈數作單位。舉例來說，當手表的秒針從 12 點轉到 6 點，那麼我們可以說秒針的角位移是順時針轉半圈，不過在科學上比較喜歡用順時針轉 pi 弧度這種描述方式。同樣的，如果秒針逆向整整轉了一圈，那麼角位移就是反時針轉了 2pi 弧度。

角速度(angular velocity)則是每單位時間內的旋轉量，和口語上的轉速概念是一樣的，只是物理上比較喜歡用弧度來描述。舉例來說，秒針每60秒轉 2pi 弧度，所以平均角速度就是順時針 2pi/60 (rad/sec)。不過因為秒針並非均勻的旋轉，而是跳格式的運動，所以秒針的瞬時角速度很難描述。

對轉動有點概念的人應該可以理解，像是「順時針轉pi弧度」這樣的量是可以用一組「大小」和「方向」來描述的。例如我們慣用右手座標系的人可能會這樣，以弧度作為量的大小，而順、反時針則可以用右手規則定出一個方向。雖然可以用「大小」和「方向」來描述角位移，可是角位移卻不是向量。

我記得以前念書的時候，老師不停強調向量就是有大小、有方向。但隨著書讀多了漸漸明白並不是如此，這是一個過度簡化、甚至錯誤的說法。(還有另一個常見的誤用就是把所有n-tuple都看成向量，這也不一定成立。)

一個東西若能當成向量，不僅僅是有大小、方向而已，更重要的是必須滿足向量操作的條件。角位移之所以不是向量，就是因為他不能滿足向量加法交換律和結合律。其實這個道理很簡單，只是告訴我們多個旋轉以不同順序「加」在一起會有不同的效果，參看下圖。

例外的情況是無限小的旋轉，也就是轉動量無限趨近於0，此時向量加法交換律和結合律就可以滿足，這就是為何瞬時角速度可以當成向量來看待。如果我們將旋轉的維度限制在同一平面上，向量加法交換律和結合律也是可以被滿足的。(不過這裡要提醒的是，用右手規則製造出來的向量仍然和真正的向量有一點點不同)

或許有人會疑惑，是不是向量有那麼重要嗎？不就只是個名稱分類而已。誠然，這些就只是數學家沒事訂出來的名詞與分類，但數學家沒事之餘也對這些東西的性質做了非常大量的探討，當有人說「某某可以視為向量」時不僅僅是在數學上做分類，而是在說數學家在向量方面累積的全部知識對這件事情都管用。不論是物理學的力與場，或是機器學習當中由參數構成的高維抽象空間，只要能夠用向量、梯度來表示，那麼我們就可以用相同的數學來進行操作。

所以「角位移不能視為向量」這個陳述的意義在於，很多對向量管用的操作碰到角位移不一定成立，例如欲將多個獨立的角位移加起來合成一個新的操作，就必須注意順序問題，否則結果可能會和預期大大不同。