novus log

這是一個我從很久以前就有的想法，印象中最原始的想法大約始於國中期間，當時甚至都還沒在學校學到極限的觀念。一直到高中、大學之後我才漸漸對相關數學有足夠的理解，然而問題還是沒有解決。

記得當年和小豪討論過這個問題，不過忘掉最後是否得出有意義的答案。

雖然後來我看過這個問題比較簡單的變形，不過我還是以最初的想法來描述

假設有一個正方形邊長為1，那麼對角線如紅色所示，長度為根號2；圖中沿正方形兩邊的黑線長度為2。

將黑線改成階梯狀，長度依然是2。不難看出反覆分解下去，階梯會越來越小且階數越來越多，但總長度並不會因此改變。

有趣的地方來了，當分解數趨近無限的時候，最後黑線會無限趨近紅線，那時候黑線的長度應該是多少？

如果黑線等於紅線，那麼長度應該為根號2

但若是按照剛才前幾回合的例子來看，應該是不管再怎麼分割長度還是維持2不變。

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雖然看起來很為反直覺，其實有限操作和無限操作所得到的長度確實是不同的。

這個例子很清楚的示範，有限逼近的性質不見得會在無限逼近中保留，所以在探討問題時慎選欲逼近的性質很重要。

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2010/11/05 補充

這個問題還有其他變形，最常見的似乎是正三角形和本文示範的直角三角形，另外用半圓形也是一種做法