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很多人在比較商品時會使用「性價比」這樣一個概念，通常是將商品規格量化後再除以價錢得到的指標，有些時候會反過來算。我知道現實中大家講性價比全憑直覺，沒有人會真正去除，這只是一篇說明數學原理的文章，只要掌握數學原則就能推廣到其他最佳化領域。雖然說是數學，不過你可以放心裡面完全沒有計算，而且應該在高中程度以內。

有人使用「C/P值」來表示性價比，但這似乎不是一個很正式的用法，C 和 P 各自代表什麼大家也說不清楚。其中一個可能是 cost/performance，但若是這樣 C/P 值應該越低越好，顯然和口語上的用法相反。另一個候選者是 capacity/price，看起來符合一般人的使用習慣，而且字首都對得上，但似乎只有中文世界是這樣用的。還有人主張這應該是 CPI（Cost Performance Index） 的誤用，不過我覺得有點懷疑。

不論如何，我以下採用的都是「性能/價格」這個普遍的用法。性價比被詬病的原因之一，在於大部分商品的性能本來就非常難量化，本文打算忽視現實的使用情境，專注於「F(價格, 性能) = 性能/價格」這個函數的數學特性，所以先假設所有商品都能夠完美無爭議的量化。本文另一項不符現實之處在於假設產品性能與價格都是連續分佈，現實中的產品幾乎都是離散的。

如果假設商品性能範圍為 2~10，售價範圍為 2~10，性能/價格畫出來的圖形如下。

這樣的圖形不容易說明，所以我轉換成下圖以顏色來表示性價比高低，越偏紅表示性價比越高，越偏藍紫表示性價比越低。相同顏色點組成一條條的「性價比等高線」，圖中以黑線標示幾條高度間距為 0.5 的性價比等高線。

這個圖形有幾個重要特性：

1. 在同一條等高線上的所有物品性價比都是相同的。等高線必為正斜率的直線，任一等高線左上半平面的點，性價比一定優於右下半平面。
2. 所有的等高線都是由原點向外放射狀擴展的直線，但不會通過原點，因為除以0沒有意義，這也代表所有的等高線都不會相交。
3. 性價比乘上常數倍可以拉長或壓扁圖形，但是大小關係保持不變。如果你對這點沒有感覺，讓我舉個具體的例子，同一群商品從台幣計價換成用美元計價，儘管性價比的數字差約三十倍，但優劣順序是不會改變的，性價比最高的物品還是同一件。

上面告訴我們性價比對於性能或價格的數字尺度並不敏感，這是一項優點。但是看看下面的例子，假設下圖白色區塊為產品分佈範圍，很清楚可以看到性價比最高的是 A 點，這是一個高性能、高單價取向的產品。

有趣的是，我們把同一群產品移動到同一張圖的不同位置，圖形告訴我們性價比最高的是 B 點，這是一個低性能、低單價取向的產品。

這告訴我們性價比對於平移有一定的敏感性，當平移發生時，性價比對於「好」產品的建議有可能會變得非常不一樣，像是從原本偏好高檔產品變成偏好低檔產品，或者反過來。這樣的平移常發生在產品性能進步迅速，價位範圍變化不成比例的情況下，例如說電腦硬碟的容量每隔一段時間就翻倍，不過整體價位卻非常緩慢的下降。再舉個相反的例子，去年泰國發生水患，導致同樣性能的硬碟價格暴增。

上面的現象看起來好像很詭異，不過假如唯一的目標只是用最少錢買到最大性能的產品，遵循性價比的建議是沒錯的。但我們在購物的時候常常有不同的需求，下面這個例子的產品分佈呈高檔、低檔兩群，中價位的產品比較少。

不論在任何情況下，位於凹處的 C 產品絕對不可能成為性價比最高的產品，有個直觀的理解法：

這群產品中性價比最高者必定會和一條等高線相切，如圖中的紅綠紫線分別表示產品在不同分佈範圍會可能遇到的最高性價比等高線。不管切過 C 點的性價比等高線斜率為何，這條等高線的左上半平面一定會有東西，亦即一定有東西的性價比高於 C

嚴格的證明就別問了，這裡要表達的重點是：性價比痛恨凹陷，在凹處的點都會被視為效益不彰。請注意性價比不是效益唯一的觀點，一般人常常會需要「預算500元以內最好的產品」，此時 C 就會是最佳選擇。也就是說 C 點合乎 Pareto 效益的觀點，不可能要求更高產品規格而不增加預算，也不可能用更低的預算買到同規格產品。當產品分佈出現凹陷圖形時，性價比的效益觀會和 Pareto 效益觀牴觸。

除了性價比之外，最後我想簡略談談另外一個方法--加權總和。這個方法基本上就是把你在乎的產品屬性列出來，依照偏好程度乘上一個權重值，然後全部加起來。舉例來說，對硬碟的偏好程度可以表示成下面的加權總和

W1*價格 + W2*容量 + W3*轉速 + w4*傳輸速度 + W5*Buffer...

比照前面性價比的模式，數學比較好的讀者應該可以看出，加權總和會在高維空間中構成一個通過原點的超平面，想像不出來的讀者只要看價格和容量兩項就好了。這個形狀非常簡單，所有的等高線都是平行直線，而斜率完全由權重決定 。這裡大略提一下這個作法的特性：

1. 加權總和可以同時考慮多項因素，這是比性價比優勢之處。
2. 和性價比相反的是，加權總和的優劣順序不受平移影響，但是對各個屬性的數值尺度非常敏感。
3. 決定權重是最關鍵但也是最困難的工作，尤其要考慮加權總和對屬性尺度的敏感度。舉例來說，目前硬碟的價格範圍通常在幾千元，容量卻是數百GB，buffer 通常是幾十MB，好的權重必須同時反映使用者偏好並且同時平衡數值尺度的差異。
4. 加權總和也很討厭凹點，假如目的在於追求 Pareto 效益，且產品分佈圖有凹陷時，加權總和與性價比同樣不適合。

我想到此告一段落，性價比和加權總和對人類來說是直覺上蠻有意義的函數，但不見得是適合用在所有問題的方法。其實這篇文章並非單純為購物而寫，留給有緣人去領會。