如果總質量相同的話,均勻空心球的重力場是否和均勻實心球相同?
 
我想從高斯定律出發是一個比較直觀的方式。這裡有一個前提,即重力是保守力,所以我們不必考慮旋度,從散度出發就可以完全決定重力場。

 重力場的高斯定律積分形式表示如下:

S   空間中的一個封閉曲面,在這裡稱為高斯面。
dA  S曲面上的一個無窮小面積,面積方向向曲面外。
g   穿過上述無窮小面積的重力場。
G   萬有引力常數。
M   S曲面所包圍的總質量。

白話的說法就是:「進出一個封閉曲面的重力場淨流通量,相等於此封閉曲面內所包圍的總質量乘以-4πG」

考慮一個質量M的均勻空心球。首先以空心球的球心,取半徑為r的球狀封閉曲面作為高斯面,r大於空心球的外徑,恰好能夠完全包住空心球。

由於空心球是對稱物體,因此高斯面上各處的重力場都是相同的,且高斯面上重力場的強度只和半徑r有關,因此可將重力場表示為r的函數。又球面積可以表示為4πr^2,於是邪惡的封閉面積分可以簡單化為

由此可知,空心球外一點之重力場,效果等同於所有質量集中於球心。對於實心球如法炮製也可以得到同樣的結果,所以空心球外之重力場和同質量的實心球相同

這和我直接用微積分求得的結果是相同的,只是由於本人離開學校太久,微積分保固期已過,過程只能說跌跌撞撞。直接用微積分求過程冗長,打公式辛苦,這裡提供一個現成的結果http://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem。

附註:
這個問題原本是在討論地球空心論、月球空心論是否可用重力場檢驗的幕後工作,不過現實中地球和月球密度都不是均勻的。重力高斯定律之威力在此突顯,高斯定律積分形式只需考慮總質量,就算地殼、地函、地核密度不同,只要分佈都是球形對稱,我們取的高斯面都有效。

如果直接用微積分處理,就必須先設一個密度函數來表示不同深度的密度,然後設法在計算過程中幹掉。

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