著名的物理學家托里切利(Evangelista Torricelli)曾師事加利略,他除了製造托里切利真空之外,另一項比較不有名的成就是以數學方式描述 Vuvuzela。

方式是這樣的:

取函數 y = 1/x,其中 x 域定義為 x >= 1,作出此函數圖形,然後將圖形沿 x 軸轉一圈成為錐狀立體。

這個圖形有些人稱為托里切利小號(Torricelli's Trumpet),也有人稱為加百列的號角(Gabriel's Horn),不過我很不喜歡這個名稱,因為會搜尋到一堆惱人的宗教文。比較傳神的名稱應該是托里切利的 Vuvuzela 吧。

看起來好像沒有太特別的地方,不過托里切利發現一件很有趣的事,那就是這個這個形狀的體積是有限的,可是表面積卻無窮大。

用微積分可以算出這個形狀的體積

同樣可以算出表面積

其實托里切利過世的那一年,牛頓才4歲、萊布尼茲才1歲,所以托里切利還沒有微積分可以用,不過這不是重點。

如果你還沒發現這有什麼不對,請想像一下如果有人請你把這支 Vuvuzela 漆成黃色是什麼情形?由於表面積無窮大,所以用盡全地球的漆也辦不到。

但其實還有一個簡單的做法,我們可以把這支無限長的 Vuvuzela 立起來,由於體積是有限的,所以我們很容易就可以倒入 pi 單位的漆將其填滿,等到漆附著在表面上後把多餘的漆倒掉即可。

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留言列表 (3)

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  • kris
  • 這個我就沒有辦法理解了...
  • 應該是因為你沒學過微積分,不過應該還是可以想像表面積無窮但體積有限的東西存在。碎形裡面有一堆這樣的東西。

    昨天和一位念數學的朋友談,好像我這篇文章還有些地方有問題...

    novus 於 2010/10/14 23:56 回覆

  • 小豪
  • 如果真的把無窮長的Vuvuzela立起來後,

    倒入漆,如果漆真的附著上去,試想一下,

    在Vuvuzela口徑很小的地方附著上去的漆應該非常非常薄,

    而Vuvuzela又無窮長,那麼漆就得以極薄的情況附著上去,

    不難想像漆滿顏色後,「漆要多薄就有多薄」。

    但事實上根本不會有這樣的漆!

    如果附上去的漆可以任意的薄,

    此時只要給我體積大於0的漆,我就可以漆滿這無窮長的Vuvuzela

    ^^(想知道我怎麼漆嗎?)
  • timsheu
  • 個人是覺得不能將有限跟無限扯在一起談...

    因為無限薄的油漆,那頂多就分子大小,

    可是長度又是無限,那兩個分子之間的距離會變成多少?


    所以我個人會覺得不能這樣子討論,

    有限與無限的概念是不同的。
  • 和前一個問題不同,這個問題其實真正的關鍵反倒不在有限和無限之間,而是在於對體積和面積之間的的微妙關係

    現實生活中的漆佔有體積,也不可能無限延伸。然而我們總可以在數學上假想出可無限延展的漆,然後就會發現像樓上小豪所說的情形。

    類似的情形在二維、三維的碎形當中很常出現,一個很簡單的例子是 Koch 曲線,可以在非常有限的範圍裡定義無限的週長,然而包圍的面積仍然是有限的。

    novus 於 2010/10/24 22:01 回覆